286386577668298411128469151667598498812366. Questa non è una giustapposizione di 42 numeri casuali. Questa quantità corrisponde al numero di funzioni logiche monotone in nove dimensioni. Dopo diversi anni di lavoro e 1.500 ore di calcoli, Lennart van Hertom, informatico dell’Università di Paderborn, in Germania, e Patrick de Kosmacker, della KU Leuven, in Belgio, e i loro colleghi sono recentemente giunti a questa conclusione. Il calcolo di questo “nono numero di Dedekind” completa la sequenza dei numeri di Dedekind finora conosciuta (riferita a A000372 Nell’Enciclopedia online delle ali, OEIS).
Per capire cosa rappresenta questo numero, bisogna tornare agli elementi fondamentali dell’informatica: la logica booleana. La funzione booleana accetta un elenco di VERO e FALSO come input e restituisce un output VERO o FALSO. Nelle due dimensioni, un esempio di funzione booleana è quella che restituisce vero quando almeno uno dei due input è vero e falso altrimenti. Le funzioni booleane che interessano i ricercatori in questo caso sono monotone, ovvero quando l’input cambia da falso a vero, l’output non può cambiare da vero a falso. Possiamo anche riformulare queste operazioni logiche utilizzando i bit ‘0’ e ‘1’.
Illustrazione di funzioni booleane monotone con termini di input 0, 1, 2 e 3. Per il secondo numero di Dedekind, ci sono sei funzioni che soddisfano la definizione, inclusa una che restituisce vero se almeno una delle sue voci è vera (indicata con A ∨ B).
©Tilman Pisk/Wikimedia Commons
L’n-esimo numero di Dedekind, introdotto da Richard Dedekind nel 1897, è semplicemente il numero di funzioni logiche monotone con N Termini di ingresso. “Bastano poche frasi per definire funzioni logiche monotone, ma contarle è una sfida sia per la matematica che per l’informatica!” avverte Patrick de Cosmacker. Perché questi numeri crescono in modo esponenziale, di circa 2^2^N – che sta raggiungendo molto rapidamente i limiti della potenza di calcolo dei computer odierni. Con i supercomputer sempre più potenti e i progressi della matematica, ogni trent’anni circa viene trovato un nuovo termine di sequenza infinita. L’ultimo è stato calcolato nel 1991 da Doug Wiedemann.
Per trovare la nona cifra di Dedekind, i ricercatori hanno prima ridotto il numero di termini da calcolare migliorando la formula utilizzata da Doug Wiedemann, in particolare per evitare i cosiddetti termini “simmetrici”.
lato hardware, “Abbiamo dedicato un anno e mezzo alla progettazione del chip del nostro computer”, afferma Lennart van Hertom. Nella maggior parte dei casi, i ricercatori scelgono tra processori CPU o GPU per l’elaborazione intensiva. “Ma le CPU, ad esempio, sono più ottimizzate per operazioni complesse, come la moltiplicazione, e non per queste operazioni logiche”, spiega Computer World. Quindi hanno scommesso su un’altra architettura meno utilizzata, l’FPGA (for Matrice di porte programmabili sul campo), che è più conveniente eseguire questi calcoli abbastanza rapidamente.
Ma con un numero di 42 cifre, come puoi essere sicuro che non ci siano errori? “Non possiamo escluderlo”, ammette Patrick de Cosmaeker. Per pura fortuna e fortuna, pochi giorni dopo, un altro post è stato caricato sul server arXiv, con uno stile e un’architettura diversi. Christian Jaeckel dell’Università Tecnica di Dresda ha trovato esattamente lo stesso nono numero di Dedekind. “La possibilità di ottenere accidentalmente lo stesso numero è davvero bassa, quindi sono sicuro che finalmente l’abbiamo trovato!” Esulta.Ci vediamo forse dopo trent’anni alla decima discesa…
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